高中数学课本—高中数学课本答案及解析

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高中数学课本答案及解析

高中数学是学生进行数学学科深入学习的重要阶段。在这个阶段，学生将学习到更加抽象和复杂的数学知识，例如微积分、线性代数、概率论等。对于学生来说，需要认真学习每一个知识点，并且进行大量的练习，以便掌握数学知识和技能。本文将提供高中数学课本中的一些题目的答案和解析，帮助学生更好地学习数学知识。

1. 算术与代数

例题1：已知$a+b=7$，$ab=10$，求$a^2+b^2$的值。

解析：根据$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$，可以得到$a^2+b^2=(a+b)^2-2ab=7^2-2\times 10=29$。$a^2+b^2=29$。

例题2：已知$a,b,c$为正整数，且满足$a+b+c=19$，$a^2+b^2+c^2=247$，求$ab+bc+ca$的值。

解析：设$ab+bc+ca=k$，则有$(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca)$。代入已知条件，可以得到$k=102$。$ab+bc+ca=102$。

2. 几何与三角学

例题1：在$\triangle ABC$中，$AD$是$\angle A$的平分线，$E$是$\angle BAC$的平分线，$AF\parallel BC$。如果$DE=EF$，求$\angle BAC$的度数。

解析：根据角平分线定理，可以得到$\frac{BD}{DC}=\frac{AB}{AC}$。又因为$AF\parallel BC$，所以$\frac{BD}{DC}=\frac{AE}{EC}$。$\frac{AB}{AC}=\frac{AE}{EC}$，即$EB$是$\angle BEC$的平分线。根据角平分线定理，可以得到$\frac{BF}{FC}=\frac{AB}{AC}$。$\frac{BF}{FC}=\frac{AE}{EC}$，即$EF$是$\angle BEC$的平分线。因为$DE=EF$，所以$D$是$\angle BEC$的垂直平分线。$\angle BAD=\angle CAD=\frac{1}{2}\angle BAC$。又因为$EB$是$\angle BEC$的平分线，所以$\angle BAE=\angle CAE$。$\angle BAC=2\angle BAE=2\angle CAE=80^{\circ}$。

例题2：在$\triangle ABC$中，$AB=AC$，$D$是$BC$上的一个点，使得$\angle BAD=60^{\circ}$，$\angle ACD=30^{\circ}$，求$\angle BAC$的度数。

解析：根据题目条件，可以得到$\angle BAC=2\angle ACD=60^{\circ}$。又因为$AB=AC$，所以$\angle ABC=\angle ACB=60^{\circ}$。$\triangle ABC$是等边三角形。又因为$\angle BAD=60^{\circ}$，所以$AD=AB=AC$。又因为$\angle ACD=30^{\circ}$，所以$CD=\frac{AD}{\sqrt{3}}=\frac{AB}{\sqrt{3}}=\frac{AC}{\sqrt{3}}$。$\triangle ACD$是$30^{\circ}-60^{\circ}-90^{\circ}$三角形。因为$\angle BAC=60^{\circ}$，所以$\triangle ABC$和$\triangle ACD$是相似的。$\frac{BD}{BC}=\frac{AD}{AC}=\frac{1}{2}$。又因为$\angle ABD=\angle ABC-\angle BAD=60^{\circ}-60^{\circ}=0$，所以$BD=0$。$\angle BAC=60^{\circ}$。

3. 数学分析

例题1：求$f(x)=\sqrt{x^2+1}-\sqrt[3]{(x-1)^2+1}$的导数。

解析：根据求导法则，可以得到$f'(x)=\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}-\frac{2}{3}\frac{x-1}{\sqrt[3]{(x-1)^2+1}}$。

例题2：已知$f(x)=e^x\sin x$，求$f''(x)$的表达式。

解析：根据求导法则，可以得到$f'(x)=e^x(\sin x+\cos x)$。$f''(x)=e^x(2\cos x)$。

高中数学是学生进行数学学科深入学习的重要阶段。在学习过程中，需要认真学习每一个知识点，并且进行大量的练习，以便掌握数学知识和技能。本文提供了高中数学课本中的一些题目的答案和解析，帮助学生更好地学习数学知识。

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